Математика

Введение

 

Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:

 

1. Исследование без производной

2. Исследование с помощью производной

 

Исследование функции  без производной

 

 

1. Определим ОДЗ функции

 

Подкоренное выражение не должно быть меньше 0, следовательно,  должен быть меньше или равен 2.

:  

2. Найдем корни функции

 при ,  

Отметим на числовой прямой найденные значения (см. Рис. 1), таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака функции.

Рис. 1. Корни функции на числовой прямой

3. Определим интервалы знакопостоянства и знаки функции

На интервале  функция отрицательна. На интервале  функция положительна (знак функции на интервале определяется подстановкой вместо  любого значения из данного интервала).

Таким образом, на интервале  график расположении ниже оси абсцисс, а на интервале  – выше данной оси (см. Рис. 2).

Рис. 2. Знаки функции на интервалах знакопостоянства

4. Построим эскиз графика функции в окрестностях:

а) корней функции (на рисунке 3 выделен красным цветом);

б) точек разрыва (для данной функции точек разрыва нет);

в) бесконечно удаленных точек (для ) (на рисунке 3 выделен зеленым цветом). ОДЗ у данной функции таково, что  стремится к минус бесконечности, при этом  также стремится к минус бесконечности.

 

Следовательно, мы получили примерное изображение графика функции (см. Рис. 3).

Рис. 3. Эскиз графика функции

 

Исследование функции  при помощи производной

 

 

1. Вычислим производную функции

 

 

 

 

2. Определим критические точки производной

Для этого приравняем производную к нулю:

 

 

3. Определим интервалы знакопостоянства и знаки производной на них

Для этого определим ОДЗ производной:

 

 

 

Отложим на числовой прямой найденные значения критической точки и ОДЗ, таким образом, мы выделили точки возможного изменения знака производной.

На интервале  производная больше нуля, значит, сама функция возрастает; на интервале  производная меньше нуля, значит, функция убывает (см. Рис. 4).

Рис. 4. Эскиз графика функции  и интервалы знакопостоянства и знаки производной на них

4. Исследуем точки экстремума функции

В точке  функция достигает максимума. Определим значение функции в этой точке:

 

Полученные результаты сведем в таблицу:

1 строка: интервалы знакопостоянства производной и критическая точка;

2 строка: значения производной на каждом интервале;

3 строка: возрастание и убывание функции на интервалах знакопостоянства производной, значение функции в критической точке;

4 строка: точка максимума.

На рисунке 5 показан график функции .

Рис. 5. График функции

 

Результаты исследования функции

 

 

1.  при
2.  при
3.  – точка максимума
4. 
5. 

 

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Webmath.ru (Источник).
2. Matburo.ru (Источник).
3. Matematikalegko.ru (Источник).
4. Youtube (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 45.8, 45.9 (стр. 265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник).
2. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума для функции: