Математика

Дифференцирование сложной функции. Примеры

Сложную функцию мы уже  дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию . Например, . Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.

Начнем с функции

1.

Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.

Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.

Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции.

Таблица производных сложных функций

1.

2.

3. . Напомним, что .

Пример. 

4. .

Пример. 

5.

6.

7.

8. .

Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.

Задача из практики подготовки к ЕГЭ

В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.

Найти минимум функции .

Решение.

ОДЗ:   .

Найдем производную . Напомним, что , .

Приравняем производную к нулю   . Точка  - входит в ОДЗ.

Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).

Рис. 1. Интервалы монотонности для функции .

Рассмотрим точку  и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку  меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит,  - точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то  - точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума: . Нарисуем схему (см. рис.2).

Рис.2. Экстремум функции .

На промежутке  - функция убывает, на  - функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .

Ответ: .

Итог урока

На уроке рассмотрели  дифференцирование сложных функций, составили таблицу и рассмотрели правила дифференцирования сложной функции, привели пример применения производной из практики подготовки к ЕГЭ.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 
2. Портал Естественных Наук (Источник). 
3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

№№ 42.2, 42.3 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)