Математика

 

 

Тема: Показательная и логарифмическая функция

 

Урок: Решение логарифмических неравенств

 

1. Введение

 

 

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т.е. функции вида  (). Здесь t – независимая переменная, а= конкретное число, у – зависимая переменная, функция.

 

 

2. Основные опорные факты 

 

 

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

 

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, . При  монотонно убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции,, .

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

 

3. Решение простейшего логарифмического неравенства  

 

 

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

 

То есть знак неравенства сохраняется.

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т.к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

 

 

4.  Решение более сложных логарифмических неравенств

 

 

Пример 1 – решить неравенство:

 

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Получаем неравенство:

Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:

Ответ:

Пример 2 – решить неравенство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы (). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учетом ОДЗ:  

Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.

 

Пример 3 – решить неравенство:

Приведем второй член к основанию 5:

Получили неравенство:

Очевидна замена:

Имеем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.

Вернемся к исходным переменным:

Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ:

 

Пример 4 – решить неравенство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Преобразуем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями:

Ответ с учетом ОДЗ:

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых логарифмических неравенств. Далее мы перейдем к решению более сложных логарифмических неравенств.

 

Список рекомендованной литературы.

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

1. Webmath.ru  (Источник).

2. Tutoronline (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №526-528;

2.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3.      Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;